다익스트라 최단 경로 알고리즘 (Dijkstra Algorithm)
다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다. 이 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작하는데, 현실 세계의 길은 음의 간선으로 표현되지 않는다. 이 알고리즘은 매번 가장 비용이 적은 노드를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문에 그리디 알고리즘이라고 할 수 있다. 알고리즘은 다음과 같이 동작한다.
- 출발 노드를 설정한다.
- 최단 거리 테이블을 초기화한다.
- 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
3과4를 반복한다.
다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다.
파이썬 코드 $O(ElogV)$
힙 자료구조를 사용하여 특정노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더 빠르게 찾을 수 있다.
deque vs heapq
deque: duble-ended queue로, 큐의 처음과 끝에 아이템을 삽입, 삭제할 때 $O(1)$의 시간복잡도를 가진다. FIFO 큐를 만들 때 사용한다.heapq: 우선순위 큐를 지원하며,PriorityQueue보다 빠르게 동작한다. 우선순위 큐를 구현할 때 내부적으로 최소힙, 최대힙을 이용하는데 최소힙인 경우 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제되고, 최대 힙을 이용하는 경우 값이 큰 데이터가 먼저 삭제된다. 튜플을 넣는 경우 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위 큐를 구성한다.
다익스트라 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선 방문하므로 최소 힙 구조를 기본적으로 사용하는 deque를 그대로 사용하면 된다. 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 이용한다.
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
n, m = map(int, input().split()) # 노드 개수, 간선
start = int(input()) # 시작 노드 번호
graph = [[] for i in range(n+1)] # 각 노드에 연결된 노드에 대한 정보 담은 리스트
distance = [INF]*(n+1) # 최단 거리 테이블 무한으로 초기화
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
grpah[a].append((b, c)) # a -> b (cost c)
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정 후 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드 꺼냄
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있다면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost # 비용 업데이트
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
# 도달할 수 없으면 무한 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
else:
print(distance[i])
예제) 전보
문제
어떤 나라에는 N개의 도시가 있다. 그리고 각 도시는 보내고자 하는 메시지가 있는 경우, 다른 도시로 전보를 보내 해당 메시지를 전송할 수 있다. 하지만 X라는 도시에서 Y라는 도시로 전보를 보내고자 한다면, 도시 X에서 Y로 향하는 통로가 설치되어 있어야 한다. 예를 들어 X에서 Y로 향하는 통로는 있지만, Y에서 X로 향하는 통로가 없다면 Y는 X로 메시지를 보낼 수 없다. 또한 통로를 거쳐 메시지를 보낼 때는 일정 시간이 소요된다. 어느 날 C라는 도시에서 위급 상황이 발생했다. 그래서 최대한 많은 도시로 메시지를 보내고자 한다. 메시지는 도시 C에서 출발하여 각 도시 사이에 설치된 통로를 거쳐, 최대한 많이 퍼져나갈 것이다. 각 도시의 번호와 통로가 설치되어 있는 정보가 주어졌을 때, 도시 C에서 보낸 메시지를 받게 되는 도시의 개수는 총 몇 개이며 도시들이 모두 메시지를 받는 데까지 걸리는 시간은 얼마인지 계산하는 프로그램을 작성하시오.
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)
n, m, start = map(int, input().split())
graph = [[] for i in range(n+1)]
distance = [INF] * (n+1)
for _ in range(m):
x, y, z = map(int, input().split())
graph[x].append((y, z)) # x->y cost:z
def dijkstra(start):
q = []
heapq.heappush(q, (0, start)) # q: 대상 리스트
distance[start] = 0
while q:
dist, now = heapq.heappop(q)
if distance[now] < dist:
continue
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
dijkstra(start)
# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
# 도달할 수 있는 노드인 경우
if d != INF:
count += 1
max_distance = max(max_distance, d)
# 시작 노드 제외 -1
print(count-1, max_distance)
플로이드 워셜 알고리즘(Floyd-Warshall Algorithm)
다익스트라 알고리즘은 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우에 사용하는 알고리즘이라면, 플로이드 워셜 알고리즘은 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우에 사용한다.
플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 같이 단계마다 거쳐가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행하지만 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 점이 다르다. 2차원 리스트에 모든 노드에 대해 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하므로 2차원 리스트에 최단 거리 정보를 저장한다. N번의 단계에서 매번 $O(N^2)$ 시간이 소요된다. 또한 노드의 개수가 N이라고 할 때 N번 만큼의 단계를 반복해 점화식에 맞게 2차원 리스트를 갱신하기 때문에 다이나믹 프로그래밍으로 볼 수 있다. 알고리즘이 비교적 간단하므로 V의 크기가 작은 경우에 사용한다. 알고리즘은 다음과 같이 동작한다.
- 현재 확인하고 있는 노드를 제외하고 N-1개의 노드 중에서 서로 다른 노드 (A, B)쌍을 선택
- A -> 1번 노드 -> B로 가는 비용을 확인한 뒤 최단 거리 갱신
- $_{N-1}\rm P_2$개의 쌍을 단계마다 반복해서 확인
K번의 단계에 대한 점화식은 다음과 같다. A에서 B로 가는 최소 비용과 A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용을 비교해 더 작은 값으로 갱신한다.
$D_{ab} = min(D_{ab}, D_{ak} + D_{kb})$
파이썬 코드 $O(V^3)$
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
n = int(input())
m = int(input())
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
for b in range(1, n+1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# a->b cost:c
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n+1):
for a in range(1, n+1):
for b in range(1, n+1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k]+graph[k][b])
# 수행된 결과 출력
for a in range(1, n+1):
for b in range(1, n+1):
if graph[a][b] == INF:
print("INFINITY", end=" ")
else:
print(graph[a][b], end=" ")
예제) 미래도시
문제
방문 판매원 A는 많은 회사가 모여 있는 공중 미래 도시에 있다. 공중 미래 도시에는 1번부터 N번까지의 회사가 있는데 특정 회사끼리는 서로 도로를 통해 연결되어 있다. 방문 판매원 A는 현재 1번 회사에 위치해 있으며, X번 회사에 방문해 물건을 판매하고자 한다. 공중 미래 도시에서 특정 회사에 도착하기 위한 방법은 회사끼리 연결되어 있는 도로를 이용하는 방법이 유일하다. 또한 연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동할 수 있다. 공중 미래 도시에서의 도로는 마하의 속도로 사람을 이동시켜주기 때문에 특정 회사와 다른 회사가 연결되어 있다면, 정확히 1만큼의 시간으로 이동할 수 있다. 또한 오늘 방문 판매원 A는 기대하던 소개팅에도 참석하고자 한다. 소개팅의 상대는 K번 회사에 존재한다. 방문 판매원 A는 X번 회사에 가서 물건을 판매하기 전에 먼저 소개팅 상대의 회사에 찾아가서 함께 커피를 마실 예정이다. 따라서 방문 판매원 A는 1번 회사에서 출발하여 K번 회사를 방문한 뒤에 X번 회사로 가는 것이 목표다. 이때 방문 판매원 A는 가능한 한 빠르게 이동하고자 한다. 방문 판매원이 회사 사이를 이동하게 되는 최소 시간을 계산하는 프로그램을 작성하시오.
# 플로이드 워셜 알고리즘
# N의 범위가 100 이하이기 때문에 간단한 플로이드 워셜 알고리즘 사용
# 다익스트라 알고리즘을 사용하는 경우 1->K, K->X 두번 실행
INF = int(1e9)
n, m = map(int, input().split())
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]
# 본인->본인 cost: 0
for a in range(1, n+1):
for b in range(1, n+1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
for _ in range(m):
a, b = map(int, input().split())
graph[a][b] = 1
graph[b][a] = 1 # cost = 1
x, k = map(int, input().split())
for k in range(1, n+1):
for a in range(1, n+1):
for b in range(1, n+1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k]+graph[k][b])
distance = graph[1][k] + graph[k][x]
if distance == INF:
print("-1")
else:
print(distance)
Reference
- 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬